Inferences About Means

Inferences About Means - Transcript

   
Chapter 23:
Inferences About Means

Confidence Intervals & Hypotheses 
About Means
 To create confidence intervals and test 
hypotheses about means:
 Base both on the sampling model
 CLT tells us that the sampling model is 
Normal
 Standard Error is just the estimated 
standard deviation of the sampling model

Gosset’s t
 Gosset worked as a quality control engineer.
 He noticed that with small sample size, his tests for quality weren’t quite right.
 When he used the estimated standard error, the shape of the sampling model changed; he called the new model a t­distribution.
 Student’s t­models form a whole family of related distributions that depend on a parameter known as degrees of freedom (df).

A Sampling Distribution for Means
 When the conditions are 
met, the standardized 
sample mean,
follows a Student’s t­model 
with n – 1 degrees of 
freedom.  
 We estimate the 
standard error with
( )
yt SE y
µ−
= ( ) sSE y n=

Gosset’s Model
 When Gosset corrected the model for 
the extra uncertainty, the margin of error 
got bigger.
 When you use Gosset’s model instead 
of the Normal model, your confidence 
interval will be slightly wider and your P­
values slightly larger.

“To t or not to t?”
 If you know      
use z (very 
rare!).
 Whenever you use s to 
estimate    , use t.
 Student’s t­models are 
unimodal, symmetric 
and bell shaped. 
σ
σ

Assumptions and Conditions
 Independence Assumption
 Randomization condition
 10% condition
 Normal Population Assumption
 Nearly Normal condition
 The data come from a distribution that is unimodal and symmetric.
 Check by making a histogram or Normal probability plot.

One­sample t­interval
( ) ( )1
1
When the conditions are met, find the confidence level
for the population mean, . Since the standard error of the mean is
, the interval . The critical value
depends on the parti
*
*
n
n
sSE y y t SE yn
t
µ
−
−
= ± ×
cular confidence level, , that you specify
and on the number of degrees of freedom, 1, which we get from
the sample size.
C
n −

A One­Sample t­Interval for the Mean
 Identify the parameter:
 Find a 90% confidence interval for the mean 
speed of vehicles driving on Triphammer Road.
 Look at the data:
 Enter data into L1.

A One­Sample t­Interval for the Mean
 Check the conditions:
 Randomization: we have a convenience sample, 
but we have reason to believe it is 
representative.
 10%: the cars observed were fewer than 10% of 
al cars traveling on Triphammer Road.
 Nearly Normal Condition: The histogram is 
unimodal and symmetric

A One­Sample t­Interval for the Mean
 State the sampling distribution model for the statistic.
 Under these conditions the sampling distribution of the mean can be modeled by Student’s t­model with 22 degrees of freedom:
 Choose your method.
 We will use a one­sample t­interval for the mean.
1 23 1 22n − = − =

A One­Sample t­Interval for the Mean
 Construct the 
confidence interval
 We know
 Under STAT TESTS 
choose Tinterval
 Margin of Error:
23 cars
31 0 mph
4 25 mph
.
.
n
y
s
=
=
=
( )
( )
22
1 717 0886
1 521 mph
*
. .
.
ME t SE y= ×
=
=

A One­Sample t­Interval for the Mean
 Interpretation:
 We are 90% confident that the true mean speed of all vehicles on Triphammer Road is between 29.5 and 32.5 miles per hour.
 Caution: this was not a random sample of vehicles.  It was a convenience sample taken at one time of the day. The drivers could possibly have seen the police device and may have slowed down.  We are reluctant to extend our inference to other situations.

A One­Sample t­Test for the Mean
 State the hypotheses:
 We want to know whether the mean speed of 
vehicles on Triphammer Road exceeds the 
posted speed limit of 30 mph.
 State the null hypothesis:
Mean speed, 30 mph
Mean speed, 30 mph
:
:
O
A
H
H
µ
µ
=
>

A One­Sample t­Test for the Mean
 The histogram:  Check the conditions:
 Randomization: we have a 
convenience sample, but we 
have reason to believe it is 
representative.
 10%: the cars observed were 
fewer than 10% of al cars 
traveling on Triphammer Road.
 Nearly Normal Condition: The 
histogram is unimodal and 
symmetric.

A One­Sample t­Test for the Mean
 State the sampling distribution model for the 
statistic.
 Under these conditions the sampling distribution 
of the mean can be modeled by Student’s t­
model with 22 degrees of freedom:
 Choose your method.
 We will use a one­sample t­test for the mean.
1 23 1 22n − = − =

A One­Sample t­Test for the Mean
 STAT TESTS  T­Test
 Calculate:
 STAT TESTS  T­Test
 Draw:

A One­Sample t­Test for the Mean
 Conclusion:
 Link the P­value to your decision about the null 
hypothesis and state your conclusion in context.
 The P­value of 0.126 says that if the true mean speed of 
vehicles on Triphammer Road were 30 mph, samples of 
23 vehicles can expected to have an observed mean of 
at least 31.0 mph 12.6% of the time.  That P­value is not 
small enough for us to reject the hypothesis that the true 
mean is 30 mph at any alpha level.  We conclude that 
there is not enough evidence to say that the average 
speed is too high.

Intervals and Tests
 Confidence intervals and significance tests are built from the same calculations.
 The confidence level contains all the null hypothesis values you can’t reject.
 A level C confidence interval contains all of the possible null hypothesis values that would be retained by a two­sided hypothesis test at ­level 1 – C.
 When the hypothesis is one­sided, the corresponding ­level is (1 – C)/2.

Sample Size
Before  collecting  data,  it  is  a  good  idea  to  know  whether  the 
sample  size  is  large  enough  to  give  you  a  good  chance  of 
being able to tell you what you want to know.
An example: the movie download p. 456
( )
8 min, 10 min, 95% confidence interval
108 1 96 2 45 6 0025
Use 6 1 5 degrees of freedom to substitute an appropriate
value.
108 2 571 3 214 10 33
Round up, so 11 movies
*
. . .
. . .
ME SD
n nn
t
n nn
n
= =
= = =
− =
= = =
=

CAUTION!!
 Beware multimodality.
 Look for the possibility that the data come from two groups.
 If so, separate the groups and analyze each group separately.
 Beware skewed data.
 Set outliers aside.
 Report on these values separately.
 Conduct an analysis of non­outlying points, along with a separate 
discussion of outliers.
 Watch out for bias.
 Think about possible sources of bias in your measurements.
 Make sure data are independent.
 Make sure that data are from an appropriately randomized sample.